Question

已知冪函數,且在上單調遞增.
(1)求實數的值,并寫出相應的函數的解析式;
(2)若在區間上不單調,求實數的取值范圍;
(3)試判斷是否存在正數,使函數在區間上的值域為若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) 或, (2)  (3)

試題分析：(1)由題意知,解得:.   2分
又 ∴或,   3分
分別代入原函數,得.   4分
(2)由已知得.   5分
要使函數不單調，則，則.   8分
(3)由已知,.    9分
法一:假設存在這樣的正數符合題意,
則函數的圖象是開口向下的拋物線,其對稱軸為,
因而,函數在上的最小值只能在或處取得,
又,
從而必有,解得.
此時,,其對稱軸,
∴在上的最大值為,符合題意.
∴存在,使函數在區間上的值域為14分法二:假設存在這樣的正數符合題意,
由(1)知,
則函數的圖象是開口向下的拋物線,其對稱軸為,

點評：第二問中二次函數不單調需滿足對稱軸在給定區間內，第三問關于最值的考查需注意對稱軸與給定區間的關系，從而確定給定區間上的單調性得到最值，一般求解時都要分情況討論