Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求不等式在上的解；

（2）設，關于直線對稱的函數為，求證：當時，；

（3）若函數恰好在和兩處取得極值，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）當時，對求導，判斷導函數在上的正負號,說明函數在上的單調性，再利用，即可解出不等式.

（2）根據題意求出,令,求出說明其大于0.則在上單調遞增，再結合，即可得證.

（3）根據題意可知，是函數的兩個不同實根.不妨設,分別根據函數零點存在性定理可得,可得，則，要證即證.化簡得,令

再根據函數，求導說明函數在上是減函數,結合，即可得證.

（1）當時，，

，，

∴在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增，又，

∴的解集為；

（2），

∵關于直線對稱的函數為，

∴

∴

令，

，當且僅當時取“＝”，

∵，故上式取不到“＝”，即，

∴在上單調遞增，

故，即，

∴當時，，

（3）證明：由已知，

由，是函數的兩個不同極值點（不妨設）.

即，是函數的兩個不同實根.

即，

∴，，

兩式相減得：，

于是要證明，即證明，

兩邊同除以，即證，即證，

即證

令

即證不等式當時恒成立.

設，

∴

而，即，∴，

∴在上是減函數,又

∴恒成立.

則.