Question

（1）如果a，b都是正數，且a≠b，求證a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴
（2）設a，b，c為△ABC的三條邊，求證（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）

Answer 1

證明：（1）a⁶+b⁶-（a⁴b²+a²b⁴）=a⁴（a²-b²）-b⁴（a²-b²）=（a²-b²）²（a²+b²）
∵a，b都是正數，且a≠b，
∴（a²-b²）²（a²+b²）＞0，
∴a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴
（2）要證原不等式成立，只需證4（ab+bc+ca）-（a+b+c）²＞0
即a²+b²+c²-2（ab+bc+ca）＜0，
即a²+b²+c²-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）＜0，
也即a[a-（b+c）]+b[b-（c+a）]+c[c-（a+b）]＜0成立．
因為a，b，c為△ABC的三條邊，所以a-（b+c）＜0，b-（c+a）＜0，c-（a+b）＜0
即從而a[a-（b+c）]+b[b-（c+a）]+c[c-（a+b）]＜0成立，所以原不等式也成立
分析：（1）首先由題目求證a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴，可以根據做差法求a⁶+b⁶-（a⁴b²+a²b⁴）然后根據已知條件a，b都是正數，且a≠b，求得a⁶+b⁶-（a⁴b²+a²b⁴）大于0即可．
（2）首先要證明（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca），可以做差然后化簡得a²+b²+c²-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）．然后根據已知條件a，b，c為△ABC的三條邊，兩邊之和大于第三邊，可證明a²+b²+c²-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）＜0．即得到結果．
點評：（1）題主要考查不等式的證明問題，涉及到做差法的應用；（2）小題主要考查基本不等式的證明問題，其中涉及到三角形的性質兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題目．