Question

若，，，為常數，且

（Ⅰ）求對所有實數成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設為兩實數，且,若

求證：在區間上的單調增區間的長度和為（閉區間的長度定義為）．

Answer 1

解：（Ⅰ）恒成立

;

（*）

因為,

所以，故只需（*）恒成立.

綜上所述，對所有實數成立的充要條件是.   ………4分    

（Ⅱ）1°如果，則的圖象關于直線對稱．因為，所以區間關于直線 對稱．

因為減區間為，增區間為，所以單調增區間的長度和為.   ………6分

2°如果.

（1）當時.，

當，因為，所以，故=.

當，因為，所以，故=.

因為，所以，所以即

.

當時，令，則，所以，

當時，，所以=;

時，，所以=.

在區間上的單調增區間的長度和

=.                        …………10分

（2）當時.，

當，因為，所以，故=.

當，因為，所以，故=.

因為，所以，所以.

當時，令，則，所以，

當時， ，所以=;

時，，所以=;

在區間上的單調增區間的長度和

=.

綜上得在區間上的單調增區間的長度和為.              …………14分