Question

設函數f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方

 

程為y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，

并求出此定值．

 

Answer 1

【答案】

(1)解　f′(x)＝a－，

 

解得或

 

 

因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

 

(2)證明　在曲線上任取一點，由f′(x₀)＝1－知，過此點的切線

 

方程為y－＝[1－] (x－x₀)．

 

令x＝1，得y＝，   切線與直線x＝1的交點為 (1, )；

 

 

令y＝x，得y＝2x₀－1，切線與直線y＝x的交點為(2x₀－1,2x₀－1)；

直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為

|2x₀－1－1|＝2.

 

所以，所圍三角形的面積為定值2.

 

【解析】略