Question

（理科）已知二次函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定義域為[-1，1]，且|f（x）|的最大值為M．
（Ⅰ）試證明|1+b|≤M；
（Ⅱ）試證明M≥

1

2

；
（Ⅲ）當M=

1

2

時，試求出f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知二次函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定義域為[-1，1]，且|f（x）|的最大值為M，故必有M≥|f（-1）|與M≥|f（1）|，兩式相加再結合不等式的性質即可證明結論；
（II）由題意M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，可先得出4M＞3M=|f（-1）|+f（0）|+|f（1）|≥2，即可證明出結論；
（III）當M=

1

2

時，可得出，|f(0)|=|b|≤

1

2

，-

1

2

≤b≤

1

2

①同理-

1

2

≤1+a+b≤

1

2

②-

1

2

≤1-a+b≤

1

2

③由這幾個不等式解出a，b，c的取值范圍，判斷出它們的值，即可求出函數的解析式

解答：（Ⅰ）證明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|
∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|
∴M≥|1+b|
（Ⅱ）證明：依題意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|
又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|
∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2
∴M≥

1

2

（Ⅲ）解：依M=

1

2

時，|f(0)|=|b|≤

1

2

，-

1

2

≤b≤

1

2

①同理-

1

2

≤1+a+b≤

1

2

②-

1

2

≤1-a+b≤

1

2

③
②+③得：-

3

2

≤b≤-

1

2

④由①、④得：b=-

1

2

．
當b=-

1

2

時，分別代入②、③得：

-1≤a≤0 0≤a≤1

⇒a=0，因此f(x)=x2-

1

2

．

點評：本題考查不等式的證明與函數最值的應用，綜合性較強，解答本題關鍵是理解題意構造出不等式，再由不等式的性質進行變形證明出結論，本題中前兩個小題需要先利用最值得出不等式，再由所得的不等式進行組合構造出可以證明出結論的形式，此兩題對觀察能力要求較高，第三小題也是一個能力型的題，通過最值得出參數所滿足的不等式，綜合利用這幾個不等式作出判斷得出參數的值，利用不等式求值要注意由

a≤b a≥b

等價得出a=b，這是利用不等式求值的基礎，本題考查了轉化的思想，