Question

已知函數，且在和處取得極值.

（1）求函數的解析式.

（2）設函數，是否存在實數，使得曲線與軸有兩個交點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在，且或時，使得曲線與軸有兩個交

【解析】

試題分析：解：（1），

因為在和處取得極值，

所以和是＝0的兩個根，

則解得經檢驗符合已知條件

故 

（2）由題意知，

令得，或，

隨著變化情況如下表所示：

		1	（1，3）	3
	－	0	+	0	－
	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由上表可知：極大值＝，

又取足夠大的正數時，；

取足夠小的負數時，，

因此，為使曲線與軸有兩個交點，結合的單調性，

得：，

∴或，

即存在，且或時，使得曲線與軸有兩個交點.

考點：導數的運用

點評：根據導數的符號判定函數的單調性是解題的關鍵，同時能利用其極值于x軸的關系的求解交點問題，屬于中檔題。