Question

如圖，在五面體EF-ABCD中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．
①求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
②證明：CD⊥平面ABF；
③求二面角B-EF-A的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點E，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
（Ⅱ）根據線面垂直的判定定理可知，只需證直線CD與面ABF中的兩條相交直線垂直即可；
（Ⅲ）先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求出此角即可．
解答：（Ⅰ）解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
故∠CED為異面直線CE與AF所成的角．
因為FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD=1，ED=，
CE==3，故cos∠CED==．
所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為；

（Ⅱ）證明：過點B作BG∥CD，交AD于點G，
則∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
從而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點．
取EF的中點N，連接GN，則GN⊥EF，
因為BC∥AD，所以BC∥EF．
過點N作NM⊥EF，交BC于M，
則∠GNM為二面角B-EF-A的平面角．
連接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．
從而BC⊥GM．由已知，可得GM=．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan，
所以二面角B-EF-A的正切值為．
點評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．