Question

如圖，已知Rt△ABC 中，AB=AC=

2

，AD是斜邊BC 上的高，以 AD為折痕，將△ABD折起，使∠BDC為直角．
（1）求證：平面ABD⊥平面BDC；
（2）求證：∠BAC=60°
（3）求點D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）由原直角三角形中，AD是斜邊BD上的高，得到AD與DB、DC都垂直，利用線面垂直的判定得到AD垂直于面BDC，由線面垂直的性質得到要證得結論；
（2）由原題給出的邊的長度，通過解直角三角形分別求出三角形ABC三邊的長度，然后利用余弦定理求解∠BAC的大小；
（3）取BC中點E，連結AE、DE后證明平面ADE和平面ABC垂直，在面ADE中作出D與平面ABC的垂線，在直角三角形ADE中，由等積法求得點D到平面ABC的距離．

解答：（1）證明：如圖，
∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC；
（2）證明：在原Rt△ABC中，AB=AC=

2

，∴BC=2，
∴BD=DC=1，又折疊后∠BDC=90°，
∴△BDC為等腰Rt△，∴BC=

2

，∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°； 
（3）解：取BC的中點E，∵AB=AC，BD=DC，
∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE，過D點作DM⊥AE，則DM⊥平面ABC．
在Rt△ADE中，AD=1，DE=

2

2

，∴AE=

6

2

，
∴斜邊AE上的高DM=

AD•DE

AE

=

1× 2 2

6 2

=

3

3

．
∴D點到平面ABC的距離為

3

3

．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了點線面間距離的計算，考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關鍵是對折疊問題折疊前后的變量與不變量的掌握，是中檔題．