Question

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）當時，的面積最大，最大面積為.

試題分析：1.由于題目較長，一些考生不能識別有效信息，未能救出橢圓的方程求.2. 第（Ⅰ）問，求的取值范圍.其主要步驟與方法為：由，得關于、的不等式……   ①.由根與系數的關系、，在橢圓上，可以得到關于、、的等式……      ②．把等式②代入①，可以達到消元的目的，但問題是這里一共有三個變量，就是消了，那還有關于和的不等式，如何求出的取值范圍呢？這將會成為難點.事實上，在把等式②代入①的過程中，和一起被消掉，得到了關于的不等式.解之即可.
3.第（Ⅱ）問要把的面積函數先求出來.用弦長公式求底，用點到直線的距離公式求高，得到的面積，函數中有兩個自變量和，如何求函數的最大值呢？這又成為難點.這里很難想到把②代入面積函數中，因為②中含有三個變量，即使代入消掉一個后，面積函數依然有兩個自變量.但這里很巧合的是：代入消掉后，事實上，也自動地消除了，于是得到了面積和自變量的函數關系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范圍，利用均值不等式，即可求出面積的最大值了.
試題解析：:（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，根據題意得
 解方程組得
∴橢圓的方程為．
由，得．
根據已知得關于的方程有兩個不相等的實數根.
∴，
化簡得：．
設、，則
．
（1）當時，點、關于原點對稱，，滿足題意；
（2）當時，點、關于原點不對稱，.
由，得 即 
∵在橢圓上，∴，
化簡得：．
∵，∴．
∵，
∴，即且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是．
（Ⅱ）當時，，此時，、、三點在一條直線上，不構成.
∴為使的面積最大，.
∵
∴.
∵原點到直線的距離，
∴的面積．
∵，，
∴.
∴．
∵，
∴．
“” 成立，即．
∴當時，的面積最大，最大面積為