Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=_,AD=CD=1.

求證：BD⊥AA₁；
若四邊形是菱形，且，求四棱柱的體積.

Answer 1

詳見解析；

試題分析：在底面ABCD中，由各邊的關系可知再由面面垂直的性質定理可得平面，從而證得BD⊥AA₁；由于四棱柱底面各邊及對角線CA長度都已知，故其面積容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC邊上的高，由及可得高，所以可得四棱柱體積V=.
試題解析：（Ⅰ）在四邊形中，因為，，所以    2分
又平面平面，且平面平面
平面，所以平面                     4分
又因為平面，所以．                      6分
（Ⅱ）過點作于點，∵平面平面 

∴平面
即為四棱柱的一條高         8分
又∵四邊形是菱形,且，
∴ 四棱柱的高為              9分
又∵ 四棱柱的底面面積  10分
∴ 四棱柱的體積為           12分