Question

設函數f(x)是定義在R上的增函數，且f(x)≠0，對于任意x₁、x₂∈R，都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).

(1)求證：f(x₁-x₂)=；

(2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x).

Answer 1

(1)見解析

(2)不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.

解析:

(1)∵f(x₁)=f(x₁-x₂+x₂)=f(x₁-x₂)·f(x₂)，

又f(x)≠0，

∴f(x₁-x₂)=.

(2)∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，

4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).

那么f(3x)>4f(x)可化為f(3x)>f(2+x).

又∵函數f(x)是定義在R上的增函數，

由f(3x)>f(2+x)，得3x>2+x，即x>1.

故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.