Question

已知函數f（x）=2a•4^x-2^x-1．
（1）當a=1時，求函數f（x）的零點；
（2）若f（x）有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）問題轉化為a=1時解方程f（x）=0；
（2）f（x）有零點，則方程2a•4^x-2^x-1=0有解，分離出a后轉化為求函數的值域問題；

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=2•4^x-2^x-1．
令f（x）=0，即2•（2^x）²-2^x-1=0，
解得2^x=1或2x=-

1

2

（舍去）．
∴x=0，函數f（x）的零點為x=0；
（2）若f（x）有零點，則方程2a•4^x-2^x-1=0有解，
于是2a=

2x+1

4x

=(

1

2

)x+(

1

4

)x=[(

1

2

)x+

1

2

]2-

1

4

，
∵(

1

2

)x＞0，2a＞

1

4

-

1

4

=0，即a＞0．

點評：本題考查函數的零點與方程的根的關系，考查方程的思想，屬中檔題．