Question

【題目】已知橢圓 的左右頂點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點．
（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率之積；
（Ⅱ）過點 作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點．證明：以MN為直徑的圓恒過點A．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ．設點P（x，y）（y≠0），則有 ，即 ，

∴ =

（Ⅱ）證明：設M（x1，y1），N（x2，y2），

∵MN與x軸不重合，

∴設直線 ，

由 化簡得，

；

由題意可知△＞0成立，且 ；

= ；

將 代入上式并化簡得，

．

∴AM⊥AN，即以MN為直徑的圓恒過點A

【解析】（Ⅰ）根據已知條件得到兩個直線的斜率再將兩個式子的乘積轉化為已知的形式進而求得結果。（Ⅱ）由已知通過向量數量積為零證明兩條直線垂直從而得到以MN為直徑的圓恒過直線外的一點A。