Question

7、如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為A₁D₁的中點，Q為A₁B₁上任意一點，E，F為CD上任意兩點，且EF的長為定值．則下面的四個結論中：
①點P到平面QEF的距離為定值；
②直線PQ與平面PEF所成的角為定值；
③二面角P-EF-Q的大小為定值；
④三棱錐P-QEF的體積為定值．
正確的是（　　）

A、①②③

B、②③④

C、①③④

D、①②④

Answer 1

分析：根據線面平行的性質可以判斷A答案的對錯；根據線面角的定義，可判斷B的大小；根據兩條平行線共面，可以判斷C答案的對錯，根據等底同高的三角形面積相等及A的結論結合棱錐的體積公式，可以判斷D的對錯，進而得到答案．

解答：解：①、QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距離是定值．
②、Q是動點，EF也是動點，推不出定值的結論，所以就不是定值．
③、∵A₁B₁∥CD，Q為A₁B₁上任意一點，E、F為CD上任意兩點，
∴二面角P-EF-Q的大小為定值
④、△QEF的面積是定值．（因為EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值）再根據1的結論P到QEF平面的距離也是定值，所以三棱錐的高也是定值，于是體積固定．
故選C

點評：本題考查的的知識點是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點到平面的距離，其中兩線平行時，一條線的上的點到另一條直線的距離相等，線面平行時直線上到點到平面的距離相等，平面平行時一個平面上的點到另一個平面的距離相等是解答本題的關鍵．