Question

（12分）已知函數(shù)（）.
①當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
②設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn).證明：存在實(shí)數(shù)，使得按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求.

Answer 1

①.②存在實(shí)數(shù)滿足題意，且.

解析試題分析：（1）將a，b的值代入后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)的切線的斜率，可得答案．
（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0解出x的值，然后根據(jù)x₃是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)可得到x₃=b，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到答案．
解：①當(dāng)時(shí)，，故，又，
所以點(diǎn)處的切線方程為：.
②證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/2/7moq21.png" style="vertical-align:middle;" />=，由于，故，
所以的兩個(gè)極值點(diǎn)為，不妨設(shè)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3a/1/xlsab2.png" style="vertical-align:middle;" />，且是的一個(gè)零點(diǎn)，故，
由于，故，故，又，
故=，此時(shí)依次成等差數(shù)列，
所以存在實(shí)數(shù)滿足題意，且.
考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識．
點(diǎn)評：對于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用問題，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考試的必考的一個(gè)知識點(diǎn)，要引起重視，同時(shí)對于極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要不充分條件。