Question

雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．

Answer 1

解答見解析．

本小題考查雙曲線性質，兩點距離公式，兩直線垂直條件，代數二次方程等基本知識，以及綜合分析能力．滿分12分．
解法一：設雙曲線的方程為=1．
依題意知，點P，Q的坐標滿足方程組

① ②

 

將②式代入①式，整理得(5b²－3a²)x²+6a²cx－(3a²c²+5a²b²)=0．   ③    ——3分
設方程③的兩個根為x₁，x₂，若5b²－3a²=0，則=，即直線②與雙曲線①的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點同，與題設矛盾，所以5b²－3a²≠0．
根據根與系數的關系，有
            ④
        ⑤                              ——6分
由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．
由OP⊥OQ得·=－1，
整理得3c(x₁+x₂)－8x₁x₂－3c²=0．         ⑥
將④，⑤式及c²=a²+b²代入⑥式，并整理得3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，即(a²+3b²)(3a²－b²)=0．
因為        a²+3b²≠0，解得b²=3a²，所以   c==2a．         ——8分
由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²=[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．
整理得(x₁+x₂)²－4x₁x₂－10=0．   ⑦
將④，⑤式及b²=3a²，c=2a代入⑦式，解得a²=1．                     ——10分
將a² =1代入b²=3a²得    b²=3．
故所求雙曲線方程為x²－=1．                                   ——12分
解法二：④式以上同解法一．                                      ——4分
解方程③得x₁=，x₂=   ④        ——6分
由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．
由OP⊥OQ，得x₁ x₂＋(x₁－c)·(x₂－c)=0．     ⑤
將④式及c²=a²b²代入⑤式并整理得     3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，
即   (a²+3b²)(3a²－b²)=0．因a²+3b²≠0，解得b²=3a²．             ——8分
由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²+[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．
即     (x²－x¹)2=10．        ⑥
將④式代入⑥式并整理得(5b²－3a²)²－16a²b⁴=0．               ——10分
將b²=3a²代入上式，得a²=1，將a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求雙曲線方程為x²－=1．             ——12分