Question

如圖，已知曲線C₁：y=x³（x≥0）與曲線C₂：y=-2x³+3x（x≥0）交于O，A，直線x=t（0＜t＜1）與曲線C₁，C₂分別交于B，D．
（Ⅰ）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系式S=f（t）；
（Ⅱ）討論f（t）的單調性，并求f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出兩曲線的交點O、A坐標，由直線x=t（0＜t＜1）與曲線C₁，C₂分別交于B，D表示出BD的長，利用四邊形ABOD的面積等于三角形ABO的面積+三角形OBD的面積；即可表示函數f（t）的關系式；
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分區間討論f（t）的增減性得到哦f（t）的最大值及此時t的值即可．

解答：解：（Ⅰ）由

y=x3 y=-2x3+3x

得交點O、A的坐標分別是（0，0），（1，1）.f(t)=S△ABO+S△OBD=

1

2

|BD|•|1-0|=

1

2

|BD|=

1

2

(-3t3+3t)，
即f(t)=-

3

2

(t3-t)，(0＜t＜1)．
（Ⅱ）f′(t)=-

9

2

t2+

3

2

．令f'（t）=0解得t=

3

3

．
當0＜t＜

3

3

時，f′(t)＞0，從而f（t）在區間(0，

3

3

)上是增函數；
當

3

3

＜t＜1時，f′(t)＜0，從而f（t）在區間(

3

3

，1)上是減函數．
所以當t=

3

3

時，f（t）有最大值為f(

3

3

)=

3

3

．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，以及利用導數研究函數增減性，利用導數求閉區間上函數最值的能力．