Question

（本題滿分12分）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

 

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）為的中點，在線段上是否存在一點，使得∥平面，若存在，求出的長;若不存在，請說明理由.

 

 

 

Answer 1

（Ⅰ）法一:證明∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,

∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.以BA, BB_1，BC分別為

x,y,z軸建立空間直角坐標系,     

則B(0,0,0),N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵(4,4,0)(-4,4,0)

(4,4,0)(0,0,4)=0 ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁.又NB₁與B₁C₁相交于B₁,

∴BN⊥平面C₁B₁N.                                    …………4分

法二:∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,

∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.∴BC⊥平面ANB₁B

∵BC∥B₁C₁∴B₁C₁⊥平面ANB₁B_,∴BN⊥B₁C₁   ………2分

取BB₁中點D，連結ND.

則ANDB是正方形，NDB₁是等腰直角三角形

又

 ,                 …………4分

（Ⅱ）法一：∵BN⊥平面C₁B₁N是平面C₁B₁N的一個法向量=(4,4,0),

設為平面NCB₁的一個法向量,則

,，

                                           

則 

由圖可知，所求二面角為銳角，

所以，所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值為.                 …………9分

法二：只要求二面角的正弦值，由（Ⅰ）易證為二面角的平面角，,,

,故所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值為

（Ⅲ）∵.設（）為上一點,則，

   ∥平面,

∴，           

∴在CB上存在一點P(0,0,1), ∥平面且     ………12分