Question

（本小題滿分13分）
設函數，其中，且a≠0.
（Ⅰ）當a=2時，求函數在區間[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函數的單調區間。

Answer 1

（Ⅰ）－1（Ⅱ）當a＜0時，函數區間（0，+∞）上單調遞減，當a＞0時，函數在（0，a）上單調遞增，在（a，+∞）上單調遞減

試題分析：（Ⅰ）由題意。 1分
令。        2分
當x變化時，的變化情況如表：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
		+	0	－
	－1	↗	極大值	↘	2－e

即函數在（1，2）上單調遞增，在（2，e）上單調遞減。    4分
因為，
所以當x=1時，在區間[1，e]上有最小值－1。  5分
（Ⅱ）函數的定義域為（0，+∞）。 6分
求導，得。    7分
當a＜0時，
由x＞0，得。
所以在區間（0，+∞）上單調遞減；  9分
當a＞0時，
令＝0，得x=a。      10分
當x變化時，與的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
	+	0	－
	↗	極大值	↘

即函數在（0，a）上單調遞增，在（a，+∞）上單調遞減。
綜上，當a＜0時，函數區間（0，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，函數在（0，a）上單調遞增，在（a，+∞）上單調遞減。   13分
點評：函數的最值出現在閉區間的端點處或極值點處，因此只需求出端點處函數值極值后比較大小得最值，在求單調區間時要注意函數的定義域，第二問中因為定義域，因此要對參數a分情況討論