Question

已知點A、B、C的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，α∈（

π

2

，

3π

2

）．求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

sin2α+sinαcosα

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

AC

，

BC

的坐標，進而可得模長，可得sinα=cosα，結合α的范圍可得答案；（2）由

AC

•

BC

=-1可得sinα+cosα=

2

3

．兩邊平方得
2sinαcosα=-

5

9

，而

sin2α+sinαcosα

1+tanα

=

sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=sinαcosα，代入可得．

解答：解：（1）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴|

AC

|=

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

，
|

BC

|=

cos2α+(sinα-3)2

=

10-6sinα

．
由|

AC

|=|

BC

|得sinα=cosα．…（4分）
又∵α∈（

π

2

，

3π

2

），∴α=

5π

4

．…（6分）
（2）由

AC

•

BC

=-1可得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=

2

3

．兩邊平方得
1+2sinαcosα=

4

9

，∴2sinαcosα=-

5

9

．…（8分）
又

sin2α+sinαcosα

1+tanα

=

sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=sinαcosα．
∴

sin2α+sinαcosα

1+tanα

=-

5

18

…（12分）

點評：本題考查平面向量數量積的坐標表示，涉及三角函數的運算，屬基礎題．