Question

觀察下列等式
     1=1
     2+3+4=9
   3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
（Ⅰ）照此規律，請你猜測出第n個等式；
（Ⅱ）用數學歸納法證明你猜測的等式

 

．（其他證法不給分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，觀察等式的左邊，分析可得規律：第n個等式的左邊是從n開始的（2n-1）個數的和，進而可得答案．
（Ⅱ）首先證明當n=1時等式成立，再假設n=k時等式成立，得到等式k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-1）=（2k-1）²，下面證明當n=k+1時等式左邊=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）根據前面的假設化簡即可得到結果，最后得到結論．

解答：（Ⅰ）解：根據題意，觀察可得，
第一個等式的左邊、右邊都是1，
第二個等式的左邊是從2開始的3個數的和，
第三個等式的左邊是從3開始的5個數的和，
…
其規律為：第n個等式的左邊是從n開始的（2n-1）個數的和，
即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-1）=（2n-1）²；
故答案為：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
（Ⅱ）證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
（2）假設n=k時等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
當n=k+1時，等式左邊=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）²+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）²．
綜上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²對于任意的正整數n都成立．

點評：（Ⅰ）本題考查歸納推理，解題時要認真分析題意中的等式，發現其變化的規律，注意驗證即可．（Ⅱ）本題考查用數學歸納法證明等式成立，用數學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關鍵是利用第二步假設中結論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．