Question

（1）過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。

（2）直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？

Answer 1

（1）滿足條件的直線有兩條和（2）當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。

解析:

（1）解：若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件；

若直線的斜率存在時，設直線的方程為則，

，  ∴，

，

當時，方程無解，不滿足條件；

當時，方程有一解，滿足條件；

當時，令，

化簡得：無解，所以不滿足條件；

所以滿足條件的直線有兩條和。

（2）把代入整理得：……（1）

當時，。

由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。

若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。

故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。

點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。