Question

已知函數，
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f（x）的定義域可令分母2^x+1≠0求解，對函數的解析式進行變化，判斷出值域即可值域；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明，本函數是一個奇函數，由定義法證明即可；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）的單調性并證明，由解析式可以看出本函數在（0，+∞）是一個減函數，可由復合函數的單調性的判斷方法判斷證明即可．
解答：解：（1）令分母2^x+1≠0解得x≠0，故定義域為R
函數的解析式可以變為 ，由于2^x+1＞1，故 1＞＞0
故2＞＞0
∴的取值范圍是（-1，1）
（2）函數是一個奇函數，證明如下
 ，故是一個奇函數．
（3）先證f（x）在（0，+∞）是一個減函數，證明如下
由于 ，在（0，+∞）上，2^x+1遞增且函數值大于0，
在（0，+∞）上是減函數，故，在（0，+∞）上是增函數，
又因為f（x）是奇函數，且f（0）=0，所以f（x）在（-∞，+∞）是一個增函數．
點評：本題考查函數單調性的、奇偶性的判斷與證明以及函數的定義域與值域的求法，求解此類題的關鍵是對函數性質的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法．