Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接BD．

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，對角線BD∥B1D1 ．
又因為E、F為棱AD、AB的中點，
所以EF∥BD．
所以EF∥B1D1 ．
又B1D1平面CB1D1 ， EF平面CB1D1 ，
所以EF∥平面CB1D1 ．
（Ⅱ）因為在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
AA1⊥平面A1B1C1D1 ， 而B1D1平面A1B1C1D1 ，
所以AA1⊥B1D1 ．
又因為A1C1⊥B1D1 ，
所以B1D1⊥平面CAA1C1 ．
又因為B1D1平面CB1D1 ，
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．
【解析】（Ⅰ）欲證EF∥平面CB1D1 ， 根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB1D1內一直線平行，連接BD，根據中位線可知EF∥BD，則EF∥B1D1 ， 又B1D1平面CB1D1 ， EF平面CB1D1 ， 滿足定理所需條件；（Ⅱ）欲證平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ， 根據面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1內一直線與平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， B1D1平面A1B1C1D1 ， 則AA1⊥B1D1 ， A1C1⊥B1D1 ， 滿足線面垂直的判定定理則B1D1⊥平面CAA1C1 ， 而B1D1平面CB1D1 ， 滿足定理所需條件．