Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．
（1）其求函數f（x）的極值；
（2）設函數k（x）=f（x）﹣h（x），若函數k（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=2x﹣ ，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，

所以f（x）的極小值為1，無極大值

（2）解：∵

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	減	1	增

又∵k（x）=f（x）﹣g（x）=﹣2lnx+x﹣a，

∴k′（x）=﹣ +1，

若k′（x）=0，則x=2

當x∈[1，2）時，f′（x）＜0；

當x∈（2，3]時，f′（x）＞0．

故k（x）在x∈[1，2）上遞減，在x∈（2，3]上遞增．

∴ ，∴ ，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．

所以實數a的取值范圍是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]

【解析】（I）先在定義域內求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值；（2）先求出函數k（x）的解析式，然后研究函數k（x）在[1，3]上的單調性，根據函數k（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，建立不等關系 ，最后解之即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．