Question

如圖所示，在長方體中，，，是棱上一點，

（1）若為CC₁的中點，求異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（2）是否存在這樣的，使得平面ABM⊥平面A₁B₁M，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）。(2）

試題分析：（1）由于C₁D₁∥B₁A₁故根據異面直線所成角的定義可知∠MA₁B₁為異面直線A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可．
（Ⅱ）可根據題中條件設出點M的坐標，然后根據面面垂直，計算得出A₁B₁⊥BM，BM⊥B₁M然后再根據面面垂直的判定定理即可得證．
解：（1）∵C₁D₁∥A₁B₁
              ∴∠B₁A₁M即為直線A₁M和C₁D₁所成的角
∴。
(2）建立坐標系：,,,,
在平面上選擇向量,,設法向量
由，解得，取，得
在平面上選擇向量,,設法向量
由，解得，取，得,
由，，解得，所以
點評：解題的關鍵是要掌握異面直線所成角的定義（即將異面直線轉化為相交直線所成的角）和面面垂直的判定定理。