Question

已知函數f（x）=-x³+12x，（1）求函數的單調區間；（2）當x∈[-3，1]時，求函數的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）求導數f'（x），然后根據導數f'（x）的零點得出導數大于零和導數小于零的區間，導數大于零的區間是函數的增區間，而導數小于零的區間是函數的減區間；
（2）根據（1）將區間[-3，1]，分成兩段：在區間（-3，-2）上函數為減函數，在區間（-2，1）上函數為增函數．從而得到f（-2）是函數的最小值，而最大值是f（-3）和f（1）兩者的較大者．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²+12=-3（x-2）（x+2），
由f'（x）＞0，得x∈（-2，2），∴x∈（-2，2）時，函數為增函數；
同理x∈（-∞，-2）或x∈（2，+∞）時，函數為減函數．
綜上所述，函數的增區間為（-2，2）；減區間為（-∞，-2）和（2，+∞）…（4分）
（2）由（1）結合x∈[-3，1]，得下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	端點函數值 f（-3）=-9	單調 遞減	極小值f（-2）=-16	單調 遞增	端點函數值 f（1）=11

比較端點函數及極值點的函數值，得
x=-2時，f（x）_min=f（x）_極小值=f（-2）=-16，
x=1時，f（x）_max=f（1）=11
綜上所述，函數的最大值為11，最小值為-16…（8分）

點評：本題著重考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求閉區間上函數的最值等等知識點，屬于中檔題．