Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x-y+a=0交與A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：寫出曲線與坐標軸的交點坐標，利用圓心的幾何特征設出圓心坐標，構造關于圓心坐標的方程，通過解方程確定出圓心坐標，進而算出半徑，寫出圓的方程；
法二：可設出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對應關系，根據同一性直接求出參數，
（Ⅱ）利用設而不求思想設出圓C與直線x-y+a=0的交點A，B坐標，通過OA⊥OB建立坐標之間的關系，結合韋達定理尋找關于a的方程，通過解方程確定出a的值．

解答：解：（Ⅰ）法一：曲線y=x²-6x+1與y軸的交點為（0，1），與x軸的交點為（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）．可知圓心在直線x=3上，故可設該圓的圓心C為（3，t），則有3²+（t-1）²=（2

2

）²+t²，解得t=1，故圓C的半徑為

32+(t-1)2

=3，所以圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．
法二：圓x²+y²+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x² -6x+1=0與x²+Dx+F=0是同一方程，故有有D=-6，F=1，E=-2
即圓方程為x²+y²-6x-2y+1=0
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程組

x-y+a=0 (x-3) 2+(y-1) 2=9

，消去y，得到方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，由已知可得判別式△=56-16a-4a²＞0．
在此條件下利用根與系數的關系得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

a2-2a+1

2

①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得a=-1，滿足△=56-16a-4a²＞0．故a=-1．

點評：本題考查圓的方程的求解，考查學生的待定系數法，考查學生的方程思想，直線與圓的相交問題的解決方法和設而不求的思想，考查垂直問題的解決思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．