Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為B（0，-1），且其右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0），且過定點Q(0，

3

2

)的直線l，使l與橢圓交于兩個不同的點M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得b=1．設右焦點為（c，0），由題意得

c+2 2

2

=3，由此能求出橢圓的方程．
（2）直線l的方程y=kx+

3

2

，代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+9kx+

15

4

=0．由△=81k²-15（1+3k²）＞0得k2＞

5

12

，設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-9k

1+3k2

，設M、N的中點為P，則點P的坐標為(

-9k

2+6k2

，

3

2+6k2

)．由此入手能夠導出直線l的方程．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得b=1．
設右焦點為（c，0），由題意得

c+2 2

2

=3，∴c=

2

，
∴a²=b²+c²=3．
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）直線l的方程y=kx+

3

2

，代入橢圓方程，得
（1+3k²）x²+9kx+

15

4

=0．
由△=81k²-15（1+3k²）＞0得k2＞

5

12

，
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

-9k

1+3k2

，
設M、N的中點為P，則點P的坐標為(

-9k

2+6k2

，

3

2+6k2

)．
∵|BM|=|BN|，∴點B在線段MN的中垂線上．
kBP=-

1

k

=

3 2+6k2 +1

-9k 2+6k2

，化簡，得k2=

2

3

．
∵

2

3

＞

5

12

，∴k=±

6

3

，
所以，存在直線l滿足題意，直線l的方程為

6

3

x-y+

3

2

=0或

6

3

x+y-

3

2

=0．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．