Question

袋里裝由20個球，每個球上都記有1到20的一個號碼，設號碼為n的球重為f（n）=

1

3

n2-5n+15（克），如果滿足f（n）＞n，則稱該球為重球．這些球以等可能性（不受重量和號碼的影響）從袋里取出．
（1）如果任意取出1球，試求該球為重球的概率；
（2）如果同時任意取出兩個球，試求它們重量相等的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是任取1個球，共有20個等可能的結果，滿足條件f（n）＞n，解關于n的一元二次不等式，得到n的范圍，看出n的個數，得到概率．
（2）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是任取兩個球共有C₂₀²種等可能的取法，滿足條件的事件是它們重量相等，寫出關于n的方程，根據條件得到n之間的關系，得到符合條件的事件數，得到概率．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生包含的事件是任取1個球，共有20個等可能的結果，
由

1

3

n2-5n+15＞n，
即n²-18n+45＞0，
∴n＜3或n＞15．
因此球的重量大于其號碼數的結果為7種，
∴概率為：

7

20

．
（2）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生包含的事件是任取兩個球共有C₂₀²=190種等可能的取法．
f（n₁）=f（n₂）（n₁≠n₂），
則

n 12

3

-5n1+15=

n22

3

-5n2+15，
即

1

3

(n1-n2)(n1+n2)=5(n1-n2)．
因為n₁≠n₂，
∴n₁+n₂=15．
由此可見，任取2個球且重量相同的取法有7種，
∴所求概率為：P=

7

C 2 20

=

7

190

．

點評：本題考查古典概型，考查一元二次不等式的解法，是一個綜合題，這種問題是以古典概型為載體，實際上考查的是其他的知識點．