Question

已知中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).
(1)求雙曲線方程.
(2)動直線l經過△A₁PA₂的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問:是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.

Answer 1

(1)=1 (2)所求直線l不存在

(1)如圖，設雙曲線方程為=1.

由已知得,解得a²=9,b²=12.
所以所求雙曲線方程為=1.
(2)P、A₁、A₂的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐標為(2，2）
假設存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂). 則有
，∴k_l=
∴l的方程為y= (x－2)+2,
由,消去y,整理得x²－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線l不存在.