Question

為了讓學生更多的了解“數學史”知識，某班級舉辦一次“追尋先哲的足跡，傾聽數學的聲音”的數學史知識競賽活動．現將初賽答卷成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，制成如下頻率分布表：

（1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應空格序號的答案）；
（2）決賽規則如下：為每位參加決賽的選手準備4道判斷題，選手對其依次口答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎，若題目答完仍然只答對l道，則獲得二等獎．某同學進入決賽，每道題答對的概率p的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率值相同．
（i）求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；
（ii）設該同學決賽中答題個數為X，求X的分布列及X的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由頻率的意義可知，從上到下各個小組的頻率之和是1，同時每小組的頻率=

頻數

總人數

，由此計算填表中空格；
（2）由題意知：該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，第4道也能夠答對才獲得一等獎，根據二項分布的概率公式計算即可得其分布列，進而求得X的數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由圖中數據知，樣本容量為50，根據頻率=

頻數

總人數

，①處=0.16×50=8；②處=

22

50

=0.44；
③處填：50-44=6；④處填：

6

50

  =0.12．
故有：①8②0.44③6④0.12．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得p=0.4
（i）該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎，
即前3道題中剛好答對1道，
第4道也能夠答對才獲得一等獎，
則有C₃¹×0.4×0.6²×0.4=0.1728．

（ii）由題設可知，該同學答題個數為2、3、4．即X=2、3、4，
P（X=2）=0.4²=0.16，
P（X=3）=C₂¹×0.4×0.6×0.4=0.192，
P（X=4）=C₃¹×0.4×0.6²+0.6³=0.648，
分布列為：

E（X）=2×0.16+3×0.192+4×0.648=3.488．

點評：本題屬于統計和概率內容，考查分析頻率分布表和頻率的求法．解本題要懂得頻率分布表的意義及二項分布．