Question

已知函數f（x）的圖象與函數g（x）=2^x關于直線y=x對稱，令h（x）=f（1-|x|），則關于函數h（x）有以下命題：
（1）h（x）的圖象關于原點（0，0）對稱；   
（2）h（x）的圖象關于y軸對稱；
（3）h（x）的最小值為0；               
（4）h（x）在區間（-1，0）上單調遞增．
中正確的是

②④

．

Answer 1

分析：由條件可得f（x）與函數g（x）=2^x 互為反函數，故f（x）=log₂x，可得h（x）=f（1-|x|）的解析式，由此可得它的圖象的對稱性、函數的單調性以及最值，從而得出結論．

解答：解：由于函數f（x）的圖象與函數g（x）=2^x關于直線y=x對稱，故函數f（x）與函數g（x）=2^x 互為反函數．
故函數f（x）=log₂x．
∴h（x）=f（1-|x|）=log₂（1-|x|），故函數h（x）是偶函數，圖象關于y對稱，故（2）正確而（1）不正確．
函數h（x）的定義域為（-1，1），在（-1，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，故（4）正確．
故當x=0時，函數h（x）取得最大值為 0，故（3）不正確．
故答案為 ②④．

點評：本題主要考查反函數的定義和圖象性質，函數的單調性、奇偶性的應用，屬于中檔題．