Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）= ax+b．
（1）若f（x）與g（x）在x=1處相切，試求g（x）的表達式；
（2）若φ（x）= ﹣f（x）在[1，+∞）上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得f′（x）= ，∴f′（1）=1= a，a=2．

又∵g（1）=0= a+b，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1

（2）解：φ（x）= ﹣f（x）= ﹣lnx在[1，+∞）上是減函數，

∴φ′（x）= ≤0在[1，+∞）上恒成立．

即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，則2m﹣2≤x+ ，x∈[1，+∞），

∵x+ ∈[2，+∞），∴2m﹣2≤2，m≤2

【解析】（1）求出函數的導數，得到f′（1）=1= a，求出a的值即可；根據g（1）=0，求出b的值，從而求出g（x）的表達式；（2）求出φ′（x），問題轉化為則2m﹣2≤x+ ，x∈[1，+∞），求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．