Question

已知函數f(x)=log2(x2+1)
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）證明：函數f（x）在（0，+∞）上遞增．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法,函數的值域

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）通過f（x）解析式知，對任意x∈R，x²+1≥1＞0，所以便得到f（x）的定義域為R，并且f（x）≥0，值域也就求出來了；
（2）求f′（x），判斷f′（x）＞0即可證得f（x）在（0，+∞）上遞增．

解答： 解：（1）函數f（x）的定義域為R；
∵x²+1≥1；
∴log2(x2+1)≥0；
∴函數f（x）的值域為[0，+∞）；
（2）證明：x＞0時，f′（x）=

2x

(x2+1)ln2

＞0；
∴函數f（x）在（0，+∞）上遞增．

點評：考查對數的真數大于0，以及對數函數的單調性，根據函數導數符號證明函數單調性的方法．