Question

（幾何證明選講）如圖所示，AB是半徑等于3的圓O的直徑，點P在BA的延長線上，割線PD交圓O于C，D，若PA=4，PC=5，則∠CBD=

π

6

．

Answer 1

分析：根據圓O的直徑AB=6，算出PB=PA+AB=10，利用割線定理得PA×PB=PC×PD，代入數據解出PD=8，可得CD=PD-PC=3．再在△BCD利用正弦定理加以計算，得出sin∠CBD=

1

2

，結合∠CBD是銳角可得∠CBD=

π

6

．

解答：解：∵圓O的半徑等于3，∴直徑AB=6，可得PB=PA+AB=10，
∵PAB、PCD是圓O的兩條割線，
∴PA×PB=PC×PD，即4×10=5×PD，可得PD=8，CD=PD-PC=3．
∵△BCD的外接圓直徑AB=2R=6，
∴由正弦定理

CD

sin∠CBD

=2R，得

3

sin∠CBD

=6，sin∠CBD=

1

2

，
由于∠CBD對的弧CD為劣弧，可得∠CBD是銳角，因此∠CBD=

π

6

．
故答案為：

π

6

點評：本題給出圓的直徑與割線，求圓周角∠CBD的大小．著重考查了割線定理、利用正弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．