Question

（09年江蘇模擬）過點P（1，0）作曲線的切線，切點為M₁，設M₁在x軸上的投影是點P₁。又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設M₂在x軸上的投影是點P₂，…。依此下去，得到一系列點M₁，M₂…，M_n，…，設它們的橫坐標a₁，a₂，…，a_n，…，構成數列為。

   （1）求證數列是等比數列，并求其通項公式；

   （2）求證：；

   （3）當的前n項和S_n。

Answer 1

解析：（1）對求導數，得的切線方程是

                                              

當n=1時，切線過點P（1，0），即0

當n>1時，切線過點，即0

所以數列

所以數列                       

   （2）應用二項公式定理，得

   

（3）當

，

同乘以                        

兩式相減，得

所以