Question

已知正項數列中，對于一切的均有成立。

（1）證明：數列中的任意一項都小于1；

（2）探究與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解：（1）由得

∵在數列中，∴，∴

故數列中的任意一項都小于1.

（2）由（1）知，那么，

由此猜想：（n≥2）.下面用數學歸納法證明：

①當n=2時，顯然成立；

②當n=k時（k≥2,k∈N）時，假設猜想正確，即，

那么，

∴當n=k+1時，猜想也正確

綜上所述，對于一切，都有。