Question

（本題滿分15分）如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面.

（Ⅰ）求二面角的余弦值；

（Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。

Answer 1

解析：本題主要考察空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，空間向量的應用，同事考查空間想象能力和運算求解能力。

（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，連結，因為=及H是EF的中點，所以,

又因為平面平面.

如圖建立空間直角坐標系A-xyz

則（2，2，），C（10，8，0），

F（4，0，0），D（10，0，0）.   

故=（-2，2，2），=（6，0，0）.

設=（x,y,z）為平面的一個法向量，

       -2x+2y+2z=0

所以

       6x=0.

取，則。

又平面的一個法向量，

故。

所以二面角的余弦值為

（Ⅱ）解：設則，

     因為翻折后，與重合，所以，

     故， ，得，

     經檢驗，此時點在線段上，

所以。

方法二：

（Ⅰ）解：取線段的中點,的中點,連結。

      因為=及是的中點，

所以

又因為平面平面，

所以平面,

又平面,

故，

又因為、是、的中點，

易知∥，

所以，

于是面，

所以為二面角的平面角，

在中，=，=2，=

所以.

故二面角的余弦值為。

（Ⅱ）解：設,

         因為翻折后，與重合，

所以，

          而，

 

得，

經檢驗，此時點在線段上，

所以。