Question

對于函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足下列條件：
（1）f（x）在[m，n]上是單調的；
（2）當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
若函數f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)存在“和諧區間”，則實數a的取值范圍是

0＜a＜1

．

Answer 1

分析：由條件知函數f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上分別單調遞增，根據和諧區間的定義解方程組

f(m)=m f(n)=n

，即可．

解答：解：由題意可得函數f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)在區間[m，n]是單調遞增的，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的兩個同號的不等實數根，
即

a+1

a

-

1

x

=x，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有兩個同號的實數根，
∵mn=

a

a

=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
故答案為：0＜a＜1．

點評：本題主要考查函數單調性的應用以及一元二次根的取值和分別問題，綜合性較強．