Question

在平面直角坐標系xOy中，設橢圓4x²+y²=1在矩陣

.

2 0 0 1

.

對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

Answer 1

分析：由題意先設橢圓上任意一點P（x₀，y₀），根據矩陣與變換的公式求出對應的點P′（x₀′，y₀′），得到兩點的關系式，再由點P在橢圓上代入化簡．

解答：解：設P（x₀，y₀）是橢圓上任意一點，
則點P（x₀，y₀）在矩陣A對應的變換下變為點P′（x₀′，y₀′）
則有

x ′ 0 y ′ 0

=

2 0 0 1

x0 y0

，即

x ′ 0 =2x0 y ′ 0 =y0

，所以

x0= x ′ 0 2 y0= y ′ 0

又因為點P在橢圓上，故4x₀²+y₀²=1，從而（x₀′）²+（y₀′）²=1
所以，曲線F的方程是x²+y²=1

點評：本題主要考查了矩陣與變換的運算，結合求軌跡方程得方法：代入法求解；是一個較綜合的題目．