Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ ﹣2lnx，a∈R．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，證明：f（x2）＜x2﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 的定義域為（0，+∞）， ，

令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判別式△=4﹣4a，

①當△≤0，即a≥1時，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當△＞0，即a＜1時，方程x2﹣2x+a=0的兩根為 ， ，

若a≤0，則x1≤0，則x∈（0，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，

此時，f（x）在（0，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增；

若a＞0，則x1＞0，則x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，

此時，f（x）在（0，x1）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增．

綜上所述，當a≤0時，函數f（x）在（0，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增；

當0＜a＜1時，函數f（x）在（0，x1）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增；

當a≥1時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

（2）解：由（1）可知，函數f（x）有兩個極值點x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有

兩不等實根，故0＜a＜1．

（3）證明：由（1），（2）得0＜a＜1， ，且1＜x2＜2， ． ，

令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，

則 ，

由于1＜t＜2，則g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上單調遞減．

故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．

∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．

∴f（x2）＜x2﹣1．

【解析】（1）求出函數的定義域為（0，+∞），函數的導數，令f′（x）=0，①當△≤0，②當△＞0，a＜1時，若a≤0，若a＞0，分別判斷導函數的符號，得到函數的單調性．當0＜a＜1時，（2）求出函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出結果．（3）通過（1），（2），推出0＜a＜1，構造新函數g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函數的單調性證明 求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．