Question

6名同學隨意站成一排，求下列各種情況發生的概率：
（1）甲站左端；
（2）甲站左端，乙站右端；
（3）甲、乙兩人相鄰；
（4）甲、乙兩人不相鄰；
（5）甲不站排頭、排尾；
（6）甲站在乙的左邊（可以相鄰，也可以不相鄰）．

Answer 1

分析：（1）題目要求甲站在左端，先排列甲，余下的五個人在五個位置全排列，用排列數寫出結果．
（2）題目要求甲站左端，乙站右端，甲和乙站好之后，余下的四個元素在四個位置進行全排列．
（3）甲、乙兩人相鄰，則可以采用捆綁法，把甲和乙看做一個元素，同其他四個元素進行排列，甲和乙內部還有一個排列．
（4）甲、乙兩人不相鄰，則可以采用插空法，先把其他四個人在四個位置排列，四個人形成五個空，使甲和乙在這五個空上選兩個位置排列．
（5）題目要求甲不站排頭、排尾，可以先排有限制條件的元素，甲不在兩端，則甲可以在中間四個位置選一個進行排列，余下的五個人在五個位置全排列．
（6）6個人在6個位置全排列，甲在乙的左邊和右邊的概率是一樣的，把六個人全排列得到的結果數處于2即可．

解答：解：（1）題目要求甲站在左端，
先排列甲，余下的五個人在五個位置全排列，
共有A₅⁵=120種結果．
（2）題目要求甲站左端，乙站右端；
甲和乙站好之后，余下的四個元素在四個位置進行全排列，
共有A₄⁴=24種結果，
（3）甲、乙兩人相鄰，則可以采用捆綁法，
把甲和乙看做一個元素，同其他四個元素進行排列，甲和乙內部還有一個排列，
共有A₅⁵A₂²=240種結果．
（4）甲、乙兩人不相鄰，則可以采用插空法，
先把其他四個人在四個位置排列，四個人形成五個空，
使甲和乙在這五個空上選兩個位置排列，
共有A₄⁴A₅²=480種結果．
（5）題目要求甲不站排頭、排尾，可以先排有限制條件的元素，
甲不在兩端，則甲可以在中間四個位置選一個進行排列，
余下的五個人在五個位置全排列，
共有A₄¹A₅⁵=480種結果
（6）6個人在6個位置全排列，
∵甲在乙的左邊和右邊的概率是一樣的，
∴甲站在乙的左邊有

1

2

A

6 6

=360種結果．

點評：站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后要用分步計數原理得到結果．