Question

（本題滿分12分）

如圖，四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

 

 

18.(12分) 解:（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為,連接

     

    所以是棱錐的高, 易知

      所以

  （Ⅱ）解法一(幾何法)

       取的中點(diǎn),連接

  過(guò)作于點(diǎn)，

    因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051817130904686768/SYS201205181714065312763971_DA.files/image014.png">平面，平面，所以．又于點(diǎn)，   

      所以平面

      在中，，

      所以

      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051817130904686768/SYS201205181714065312763971_DA.files/image024.png">,所以,點(diǎn)到面的距離相等

      設(shè)直線與平面所成的角為，則．

  所以直線與平面所成的角的正弦值為

    解法二(向量法)

      如圖, 取的中點(diǎn),連接

  以,,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系

      則,,,,

  所以, ,

   設(shè)平面的法向量為,則

     即

 設(shè)直線與平面所成的角為 ,則

 

【解析】略