Question

【題目】已知數列為單調遞增數列，為其前項和，.

（1）求的通項公式；

（2）若，為數列的前項和，證明：.

Answer 1

【答案】(1) an＝n (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據題干中所得給的式子，再寫一項兩式做差得到an＋1－an＝1，進而求出通項；（2）根據題意得到的通項，進行裂項求和.

解析：

（Ⅰ）當n＝1時，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，

又{an}為單調遞增數列，所以an≥1．

由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，

整理得2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．

所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，

所以{an}是以1為首項，1為公差的等差數列，所以an＝n．

（Ⅱ）bn＝＝＝－

所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋[－]

＝－＜．