Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)
（1）求證：平面
（2）求二面角的正弦值
（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長

Answer 1

【答案】
（1）

見解答

（2）

（3）

【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得,又因?yàn)?/span>分別為和的中點(diǎn)，得
（1）證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量，，由此可得，，又因?yàn)橹本�平面，所以平面
（2）,設(shè)為平面的法向量，則，即,不妨設(shè)，可得。
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,又，得,不妨設(shè)，可得因此有,于是,所以二面角的正弦值為。
（3）依題意，可設(shè)，其中則從而又為平面的一個(gè)法向量，由已知得整理得又因?yàn)?/span>，解得所以線段的長為
【考點(diǎn)精析】利用空間向量的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．