Question

設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.

Answer 1

(1) +=1   (2) k=±

解析解:(1)設F(-c,0),由=,知a=c.
過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,
代入橢圓方程有+=1,
解得y=±,
于是=,解得b=,
又a²-c²=b²,從而a=,c=1,
所以橢圓的方程為+=1.
(2)設點C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),
由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).
由方程組消去y,整理得(2+3k²)x²+6k²x+3k²-6=0,
則x₁+x₂=-,x₁x₂=.
因為A(-,0),B(,0),
所以·+·=(x₁+,y₁)·(-x₂,-y₂)+(x₂+,y₂)·(-x₁,-y₁)=6-2x₁x₂-2y₁y₂=6-2x₁x₂-2k²(x₁+1)(x₂+1)
=6-(2+2k²)x₁x₂-2k²(x₁+x₂)-2k²=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.