Question

【題目】已知函數

（1）若在處取得極值，求實數的值.

（2）求函數的單調區間.

（3）若在上沒有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調增區間為，單調減區間為（3）

【解析】試題分析：（1）求導，令得，再討論單調性下結論即可；

（2）由，令可得增區間，令可得減區間；

（3）要使在上沒有零點，只需在上或，又，只需在區間上， ，分， 和三種情況討論即可.

試題解析：

（1）的定義域為，且.

∵在處取得極值，

∴，解得或（舍），

當時， ， ；

， ，

∴函數在處取得極小值，

故.

（2）.

令，解得；

令，解得，

∴函數的單調增區間為，單調減區間為

（3）要使在上沒有零點，只需在上或，

又，只需在區間上， .

①當時， 在區間上單調遞減，則，

解得與矛盾.

②當時， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

，

解得，

∴

③當時， 在區間上單調遞增，

，滿足題意，

綜上所述，實數的取值范圍是： .