Question

設

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)，O為坐標原點，動點P（x，y）滿足0≤

OP

•

ON

≤1，0≤

OP

•

OM

≤1則z=y-x的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積求出x，y的約束條件，畫出可行域，將目標函數變形得到z的幾何意義，畫出目標函數對應的直線，數形結合求出最值．

解答：解：∵點P（x，y）
∴

OP

=（x，y）
∵

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1）
∴

OP

•

OM

=x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y
∵0≤

OP

•

ON

≤1，0≤

OP

•

OM

≤1
∴0≤x+

1

2

y≤1，0≤y≤1 
作出該不等式組所確定的平面區域，如圖所示的陰影部分，作直線L：y-x=0，然后把直線L向可行域方向平移，
由目標函數Z=y-x可得y=x+Z，則Z為直線y=x+z在y軸的截距，從而可知向上平移是，Z變大，向下平移時，Z變小
到A時Z有最大值，當移到C時Z最小值
由 y=1 2x+y=0   可得A（-

1

2

，1），此時Z最大=y-x=

3

2

即Z的最大值為

3

2

故答案為：

3

2

點評：本題以向量的數量積的坐標表示為載體，主要考查了利用線性規劃的知識求解目標函數的最值，屬于知識的綜合性應用．